Kvadrata radiko de la imaginara unuo

Kiom multe estas kvadrata radiko de la imaginara unuo, alivorte kiom estas \(\sqrt{i}\)?

---

La solvo:

La ĝenerala formo de kompleksa nombro estas \(a+bi\), en kiu \(a, b \in  \mathbb{R} \land i^2 = -1\), do ni havas taskon solvi la ekvacion \(\sqrt{i}\, – (a+bi) = 0\) aŭ

$$\begin{equation}\sqrt{i} = a+bi\end{equation}\tag{1}$$

Ni povas kvadratigi ambaŭ flankojn de la ekvacio (1).

$$\begin{aligned}(\sqrt{i})^2 & = (a+bi)^2 \\ i & = (a+bi)^2 \\ i & = a^2 + 2abi + (bi)^2\end{aligned}\tag{2}$$

De la difino de la imaginara unuo sekvas, ke la rezulto de (2) egalas la ekvacion

$$i = a^2 + 2abi\, – b^2\tag{3}$$

Por solvi (3) ni grupigu la termojn al \(i = (a^2-b^2) + 2abi\). Komparu tion kontraŭ la ĝenerala formo de kompleksa nombro kaj vi notos, ke ni havos grupon de ekvacioj

$$\begin{cases}a^2-b^2 = 0\\2ab = 1\tag{4a, 4b}\end{cases}$$

Ni solvu unue (4b), de kiu ni ekhavos la rezulton

$$b={{1}\over{2a}}\tag{5}$$

Tion ni enmetu en la (4a) kaj solvu ĝin.

$$\begin{aligned}a^2 – \left({{1}\over{2a}}\right)^2 & = 0\\a^2-{{1}\over{4a^2}} & =0\\{{4a^4-1}\over{4a^2}} & =0\end{aligned}$$

De tio ni povos konkludi, ke devas esti tiel, ke \(4a^4-1=0\) aŭ \(a^4={{1}\over{4}}\). Tion ni jene solvos

$$\begin{aligned}\sqrt[4]{a^4} &=\sqrt[4]{{1}\over{4}}\\a&=\pm {{1}\over{\sqrt{2}}}\end{aligned}\tag{6}$$

ĉar \(\sqrt[4]{4}=(2^2)^{{1}\over{4}}=2^{{2}\over{4}}=2^{{1}\over{^2}}=\sqrt{2}\). De (5) sekvos, ke

$$\begin{equation}b=\begin{cases}{{1}\over{2 \left({{1}\over{\sqrt{2}}}\right)}},\; a={{1}\over{\sqrt{2}}} \\{{1}\over{2 \left(-{{1}\over{\sqrt{2}}}\right)}},\; a=-{{1}\over{\sqrt{2}}}\end{cases} = \begin{cases}{{1}\over{\sqrt{2}}},\; a={{1}\over{\sqrt{2}}} \\-{{1}\over{\sqrt{2}}},\; a=-{{1}\over{\sqrt{2}}}\end{cases} \end{equation}$$

Nun ni povas skribi la ekvacion (1) jene

$$\begin{equation}\begin{aligned}\sqrt{i} & = \begin{cases}{{1}\over{\sqrt{2}}} + {{1}\over{\sqrt{2}}}i\\-{{1}\over{\sqrt{2}}} – {{1}\over{\sqrt{2}}}i\end{cases} = \begin{cases}{{1}\over{\sqrt{2}}}(1+i)\\-{{1}\over{\sqrt{2}}}(1+i)\end{cases} \\ & = \pm{{1}\over{\sqrt{2}}}(1+i)\end{aligned}\end{equation}$$