De temp’ al temp’ iu demandas, kial ni ne povas dividi per nul.
$$\frac{1}{0} = ?$$
Unue ni pensu pri la difino de divido, kiu estas malo de multiplikado. Ekzemple
\(\frac{\color{blue}{16}}{2} = \color{red}{8}\), ĉar \(\color{red}{8} \cdot 2 = \color{blue}{16}\)
\(\frac{\color{blue}{0}}{5} = \color{red}{0}\), ĉar \(\color{red}{0} \cdot 5 = \color{blue}{0}\)
Ni supozu, ke ni povus dividi per nul. Kio estus la rezulto?
Se \(\frac{\color{blue}{1}}{0} = \color{red}{0}\), ĉu ni ne tiam devas postuli, ke \(\color{red}{0} \cdot 0 = \color{blue}{1}\)?
Se \(\frac{\color{blue}{1}}{0} = \color{red}{1}\), ĉu ni ne tiam devas postuli, ke \(\color{red}{1} \cdot 0 = \color{blue}{1}\)?
Tio montras, ke la rezulto povas esti neniu nombro aŭ ni ne povus multipliki per nul, kio klare egalas nul1.
Kelkaj demandas, kial la rezulto de la divido ne estas senfineco. Alivorte kial la difino \(\frac{1}{0} = \infty\) ne taŭgas? Tion ni montras jene.
Supozu, ke ni havas valoron \(x\), kiu malkreskas. Tiam ni povas kalkuli:
| \(x\) | \(\frac{1}{x}\) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 0,1 | 10 |
| 0,01 | 100 |
| 0,0000001 | 10 000 000 |
Ju pli malgranda \(x\) fariĝas, des pli granda fariĝas \(\frac{1}{x}\). En matematiko oni diras, ke limeso alproksimiĝas al senfineco. Oni esprimas tion jene:
$$\lim_{x\to 0} \frac{1}{x} = \infty$$
Sed notu, ke ni alproksimigis nulon de pozitiva direkto. Kio okazas, se ni alproksimigas ĝin de negativa direkto?
| \(x\) | \(\frac{1}{x}\) |
|---|---|
| -1 | -1 |
| -0,1 | -10 |
| -0,01 | -100 |
| -0,0000001 | -10 000 000 |
Nun ju pli granda \(x\) fariĝas, des pli malgranda fariĝas \(\frac{1}{x}\)!
Ŝajnas, ke ni supre skribis malĝuste kaj la limeso dependas de la direkto:
$$\lim_{x\to 0^\color{red}{+}} \frac{1}{x} = \color{red}{+}\infty$$
$$\lim_{x\to 0^\color{red}{-}} \frac{1}{x} = \color{red}{-}\infty$$
Notu la superskriptojn en \(x\to 0^{+}\) kaj \(x\to 0^{-}\). Tiuj superskriptoj montras, de kiu direkto ni alproksimigas nulon.
Por difini \(\frac{1}{x}\) kiam \(x=0\) ambaŭ limesoj devas esti egalaj, ĉar ne povas gravi, de kiu direkto ni alproksimigas nulon. Ĉar klare \({+}\infty ≠ {-}\infty\), ni devas konstati, ke ne eblas difini dividon per nul.
- Memoru, ke multiplikado estas mallongigita adicio. Ekzemple 3 · 5 signifas, ke ni entute adicias 3 kvinojn aŭ 5+5+5. Konsekvence kiam ni adicias ion neniun fojon (ekzemple 0 · 5), la rezulto estos nenio aŭ 0. ↩︎