Ni komenciĝu per la difino de multiplikado. La produto \(m \cdot a\) estas la sumo de \(m\) termoj egalaj al \(a\).
$$m \cdot a = \underbrace{a+\text{…}a}_{m\text{-oble}}$$
Ni povas konstati, ke multiplikado estas adicio mallongigite skribite.
Notu, ke la produto estas \(0\), se \(a=0\), ĉar \(\overbrace{0+\text{…}0}^{m\text{-oble}}=0\). La produto ankaŭ estas \(0\), se \(m=0\), ĉar nul-oble iu ajn nombro egalas nul.
La potenco \(a^m\) estas la produto de \(m\) termoj egalaj al \(a\).
$$
\begin{equation}
a^m = \underbrace{a \cdot\text{…}a}_{m \text{-oble}}\tag{1}
\end{equation}
$$
Ni povas konstati, ke potenco estas multiplikado mallongigite skribite.
Laŭ la difino de potenco \((1)\)
$$0^m = \underbrace{0 \cdot\text{…}0}_{m \text{-oble}} = 0\tag{2}$$
El la difino sekvas la sekvaj leĝoj de potenco:
$$a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot\text{…}a}_{m \text{-oble}} \cdot \underbrace{a \cdot\text{…}a}_{n \text{-oble}} = a^{m+n}$$
kaj
$$a^m \div a^n = \frac{\overbrace{a \cdot\text{…}a}^{m \text{-oble}}}{\underbrace{a \cdot\text{…}a}_{n \text{-oble}}} = a^{m-n}$$
Se \(m=n\), tiam
$$\frac{a^m}{a^m} = a^0 \Leftrightarrow \frac{\overbrace{a \cdot\text{…}a}^{m \text{-oble}}}{\underbrace{a \cdot\text{…}a}_{m \text{-oble}}} = 1\tag{3}$$
Kio okazos, kiam oni kombinas \((2)\) kaj \((3)\)? Alivorte kiom estas \(0^0\)? Ni provu per poŝkalkulilo.
| \(x\) | \(x^x\) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 0,9 | 0,9095 |
| 0,8 | 0,8365 |
| 0,7 | 0,7791 |
| 0,6 | 0,7360 |
| 0,5 | 0,7071 |
| 0,4 | 0,6931 |
| 0,3 | 0,6968 |
| 0,2 | 0,7248 |
| 0,1 | 0,7943 |
He, kio okazas? Unue la valoro de \(x^x\) malkreskas, sed pli kaj pli malrapide, ĝis ĝi denove kreskas – pli kaj pli rapide!
Ni daŭrigu, kaj nun mi alproksimiĝu pli rapide al nul.
| \(x\) | \(x^x\) |
|---|---|
| 0,05 | 0,8609 |
| 0,01 | 0,9550 |
| 0,001 | 0,9931 |
| 0,0001 | 0,99907939 |
| 0,00001 | 0,9998848774 |
| 0,000001 | 0,9999861846 |
| 0,0000001 | 0,9999983882 |
| 0,00000001 | 0,9999998158 |
Je iu paŝo nia poŝkalkulilo ne plu sufiĉas kaj ni devas ŝanĝiĝi al pli preciza kalkulilo, ekz. Wolfram Alpha. Fakte ni povas observi, ke la potenco senfine alproksimiĝas al 1, do ni diras, ke la limeso de \(x^x\) estas 1, kiam \(x\) alproksimiĝas al 01.
$$\lim_{x \to 0}{x^x}=1$$
Fonto: la filmeto What is 0 to the power of 0?
- Ĉi-foje ambaŭ limesoj, kaj de pozitiva kaj de negativa direkto, alproksimiĝas al 1. Komparu kun Kial oni ne povas dividi per nul? ↩︎