Mi hazarde trovis jenan matematikan nukson: Ĉu la sumo kaj la produto de du nombroj povas samtempe egali 1?
Ni testu unue per evidenta valoro \(1\).
\(1 \cdot 1 = 1\), sed \(1 + 1 = 2\)
Do \(1\) estas tro granda. Ĉu \(\frac{1}{2}\) taŭgas?
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\), sed \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)
Ni ne divenadu, sed kalkulu la solvon. Lasu nin marki tiujn du nombrojn per \(x\) kaj \(y\). La kondiĉoj de sumo kaj produto formas sistemon de du ekvacioj:
$$
\begin{cases}
x + y\hspace{-4mm}&=1 & \quad (1) \\
x \cdot y\hspace{-4mm}&= 1 & \quad (2)
\end{cases}
$$
Ni solvas tiun per la metodo de substituo. De \((1)\) ni ricevas \(y = 1- x\). Tiam \((2)\) fariĝos:
$$
\begin{align*}
x \cdot (1-x) = 1 \\
x-x^2 = 1 \\
x^2 \, – \, x + 1 = 0
\end{align*}
$$
Ni solvu tiun per la kvadrata formulo, t.e. por ekvacio de speco \(ax^2+bx+c=0\) oni povas kalkuli la solvon per
$$
x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
$$
Jen \(a=1, b=-1\) kaj \(c=1\), do
$$
\begin{align*}
x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4(1)(1)}}{2(1)} \\
&= \frac{1\pm \sqrt{-3}}{2} \\
&= \frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}
\end{align*}
$$
Do \(x\) povas havi du valorojn, kiuj ambaŭ estas kompleksaj nombroj. Kio estas \(y\)?
$$
\begin{align*}
y &= 1- x \\
& = 1- \left( \frac{1\pm i\sqrt{3}}{2} \right) \\
& = \frac{2}{2}- \frac{1\pm i\sqrt{3}}{2} \\
& = \frac{1 \mp i\sqrt{3}}{2}
\end{align*}
$$
Notu, ke la valoroj de \(x\) kaj \(y\) estas simetriaj. Tio fakte necesas, ĉar niaj \(x\) kaj \(y\) estas arbitraj.
Kompreneble ni kontrolu, ĉu la valoroj estas ĝustaj. Pro la simetrio sufiĉas, ke ni elektu tiujn kun supraj signumoj.
$$
\begin{cases}
\begin{align*}
\frac{1 + i\sqrt{3}}{2} + \frac{1 – i\sqrt{3}}{2} &= \frac{2}{2} = 1 \\
\frac{1 + i\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1 – i\sqrt{3}}{2} &= \frac{1^2 – (i\sqrt{3})^2}{4} = \frac{1 – i^2 \cdot 3}{4} \\
& = \frac{1 + 1 \cdot 3}{4} = \frac{4}{4} = 1
\end{align*}
\end{cases}
$$
Do la du nombroj estas
$$
\frac{1+ i\sqrt{3}}{2} \; , \; \frac{1- i\sqrt{3}}{2}
$$
Fonto: filmeto Can the sum and product of two numbers both equal 1? en Jutubo