Antaŭparolo

Du junaj usonaj matematikistoj, Douglas Hofstadter (pli pri tiu multfaka sciencisto, kiu interalie verkis artikolojn pri decidiĝo, en la anglalingva Vikipedia artikolo) kaj Robert Boeninger, vojaĝis en Ŭest-Germanio 1962. Por kontraŭbatali enuadon dum longa busvojaĝo ili kreis ludon, kiun oni povas ludi per siaj fingroj. Ili nomis la ludon Undercut, verŝajne tial ke la kerna ideo en la ludo estas montri unu fingron malpli, ol la alia montras.

La ludo estas variaĵo de la ludo kun la nomo Dilemo de malliberulo. Tiu ludo estas konata ene de la matematika fako ludoteorio pri tio, ke la ludantoj havas malsamajn celojn. La elekto en la Dilemo de malliberulo okazas nur unu fojon, dum en ĉi tiu ludo oni multfoje elektas, kaj ĉi tiel ĝi pli bone ilustras tiajn konceptojn kiel elekton de optimumaj strategioj, marĉandon kaj intertraktadon, kostojn aŭ avantaĝojn kaj ekvilibrajn rezultojn.

La tuta rakonto, kiel Hofstadter kaj Boeninger kreis la ludon kaj kiel oni analizis ĝin, estas legebla en la libro Metamagical Themas, kiu estas kolekto de artikoloj de Hofstadter. (Jen eltiraĵo el la libro en PDF-formo). Ĉi tiu artikolo bazas sur tiu rakonto.

Pri la nomo de la ludo

Mi eksciis pri la ludo antaŭ multaj jaroj, antaŭ ol mi esperantiĝis. Tiam mi lernis la originalan anglalingvan nomon Undercut, kiun mi konjektis bazi sur la ideo, ke oni montru unu fingron malpli ol la alia. Kiam mi decidis skribi ĉi tiun artikolon, mi komencis cerbumi, kio povas esti la Esperantlingva nomo de la ludo. Baze sur la originala nomo tio povas esti ”Subtranĉu” aŭ ”Malpli”, el kiuj la unua estas laŭlitera traduko kaj la dua klopodo por esprimi tiun kernan ideon.

Kiam mi demandis mian amikon pri traduko, ri sugestis, ke la angla nomo povas rilati al strategioj pri prezado ene de la fako de ekonomio. Unu strategio portas la anglan nomon predatory pricing, laŭlitere ”preda prezado”, en kiu oni agreseme vendas kontraŭ suspektinde malaltaj prezoj por gajni pli grandan porcion da merkato. Tiam oni undercuts the prices, malaltigas la prezojn aŭ subvendas. Baze sur tiu ekonomia vidpunkto la Esperantlingva nomo povas esti ”Malaltigu”, ”Subvendu” aŭ eĉ ”Predado”.

Tamen en la ludo oni nek vendas nek eblas agreseme gajni poentojn, do mi konkludis, ke la plej taŭga Esperantlingva nomo estas tia, kiu priskribas la kernan ideon: venki per montri unu fingron malpli. Ĉi tial mi nomas la ludon… <la tamburo sonoras tam-tam> Unu malpli!

Reguloj

Temas pri ludo por du homoj, kaj oni ludas per fingroj en unu mano. Ambaŭ ludantoj sekrete decidas, kiom da fingroj ri montros, kaj unu laŭte diras ekzemple ”unu, du, ek”, por ke la ludantoj samtempe montru sian elektron. Alivorte oni faras same kiel en la ludo ”papero, tondilo kaj ŝtono”, sed nun oni montras inter unu kaj kvin fingroj, inkluzive. En la unua versio de la ludo unu el la ludantoj elektis inter 1 kaj 5 kaj la alia inter 2 kaj 6 kaj oni alternis la arojn, sed tio faris la ludon tro komplika sen aldoni iun valoron al la ludo.

Ambaŭ ricevas tiom da poentoj, kiom da fingroj ili montras, krom se la unua montras unu malpli ol la alia. Tiam la sumon de ĉiuj montritaj fingroj ricevas tiu, kiu montris malpli, kaj tiu, kiu montris pli, ricevas nenion. Oni ludas ĝis iu antaŭe decidita sumo aŭ kelkan tempon. Peco de papero por teni la poentojn estas rekomendinda.

Ekzemple:

rondo	mi/vi montras	mi/vi ricevas
1	2 / 4	2 / 4
2	3 / 4	3 + 4 = 7 / 0

Post tiuj du rondoj mi havas 2 + 7 = 9 kaj vi 4 + 0 = 4 poentojn.

Pli da ludantoj

Eblas ludi kun 3–4 personoj. Tiam oni pare komparu. Ekzemple personoj A, B kaj C ludas (gajnoj de A emfazitaj):

rondo	A/B/C montras	A/B ricevas	A/C ricevas	B/C ricevas
1	2 / 4 / 4	2 / 4	2 / 4	4 / 4
2	3 / 2 / 4	0 / 3 + 2 = 5	3 + 4 = 7 / 0	2 / 4

Post tiuj du rondoj

• A havas 2 + 2 + 0 + 7 =11
• B havas 4 + 4 + 5 + 2 = 15
• C havas 4 + 4 + 0 + 4 = 12

poentojn.

Kiel vi vidas, kun pli ol du ludantoj kalkuli la poentojn facile fariĝas malsimple, do mi rekomendas, ke maksimume kvar personoj ludas.

Mi povas imagi aliajn manierojn kontroli la poentojn, kiam multaj ludas, sed tiam la ludo ne necese estas simetria, kiu estas grava eco por povi ellabori optimuman strategion.

Optimuma strategio

Ni pritraktu la originalan variaĵon, ludon por du personoj. Ne ekzistas unusenca plej bona strategio, ĉar temas pri nulsuma, komplete simetria ludo kaj ambaŭ ludantoj scias nenion pri la sekva elekto de la alia (atentu, mi atestos ĉi tiujn karakterojn¹). Malgraŭ tio oni povas prezenti jenan ”venkontan” strategion, kiu bazas sur la atendata valoro.

Lasu \(p_i\) montri la probablon de elekto de la nombro \(i\) en unu rondo. Ĉar temas pri probabloj la sumo de ĉiuj probabloj devas esti unu aŭ
$$
\begin{equation}
\sum_{i= 1}^{5} p_i = 1\tag{1}
\end{equation}
$$

Ni konstruu matricon, kiu montras, kiom da poentoj vi (V) kaj via kontraŭulo (K) gajnas ĉe ĉiu elekto. En tiu matrico linioj montras viajn elektojn kaj la kolumnoj elektojn de via kontraŭulo. Ĉiu ĉelo montras gajnojn (V,K) ĉe ĉi tiuj elektoj.

V\K	1	2	3	4	5
1	(1,1)	(3,0)	(1,3)	(1,4)	(1,5)
2	(0,3)	(2,2)	(5,0)	(2,4)	(2,5)
3	(3,1)	(0,5)	(3,3)	(7,0)	(3,5)
4	(4,1)	(4,2)	(0,7)	(4,4)	(9,0)
5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(0,9)	(5,5)

En la ludoteorio oni nomas tian matricon pri gajnoj normalformo de ludo². La alia vaste uzata formo de ludo estas ampleksa formo aŭ ludoarbo³.

Notu, ke via gajno ĉe ĉiu paro de elektoj egalas al la gajno de via kontraŭulo ĉe inversaj elektoj. Ekzemple se vi elektas 3 kaj via kontraŭulo 1, vi ricevas 3 poentojn kaj via kontraŭulo 1. Se vi elektas 1 kaj via kontraŭulo 3, vi ricevas 1 kaj via kontraŭulo 3. Alivorte Unu malpli estas komplete simetria ludo.∎

Ni transformu la matricon tiel, ke ĝi montras vian netan gajnon ĉe ĉiu elekto.

V\K	1	2	3	4	5
1	1-1= 0	3-0= +3	1-3= -2	1-4= -3	1-5= -4
2	0-3= -3	2-2= 0	5-0= +5	2-4= -2	2-5= -3
3	3-1= +2	0-5= -5	3-3= 0	7-0= +7	3-5= -2
4	4-1= +3	4-2= +2	0-7= -7	4-4= 0	9-0= +9
5	5-1= +4	5-2= +3	5-3= +2	0-9= -9	5-5= 0

Tian matricon oni povas nomi matrico pri neta gajno.

Notu, ke la valoro de elemento ĉe la indekso \(i,j\) estas minussigna al la valoro de elemento ĉe la indekso \(j,i\) aŭ aliflanke – aŭ la valoro estas nul, kiam \(i=j\). Alivorte la sumo de ĉiuj gajnoj estas nul. Tio ja estas la difino de nulsuma ludo.∎

Ĉar la ludo estas komplete simetria, ne povas ekzisti vere venkonta strategio. Se tia ekzistus, vi kaj via kontraŭulo povus elekti ĝin, kaj ĉi tiel vi ambaŭ venkos, kio ne povas okazi. Sed ekzistas strategio, kiu statistike garantias, ke vi ne malvenkos⁴.

Ni pritraktu la valorojn en la matrico pri via neta gajno kiel koeficientojn aŭ pezojn por la probabloj \(p_i\). Nun la sumo de termoj en unu linio reprezentas la statistikan atendatan valoron, okaze vi elektas la asociitan nombron de tiu linio. Por ”ne malvenki” tiu atendata valoro devas esti nul. Lasu min klarigi per ekzemplo. Supozu, ke vi elektas montri 3 fingrojn. Tiam la responda atendata valoro estas \(+2p_1 – 5p_2 + 0p_3 + 7p_4 – 2p_5\). Tio devas esti nul, por ke vi ne malvenku, kiam vi ludas grandan nombron de rondoj.

Alivorte ni ekhavas sistemon de linearaj ekvacioj, kiam ni aldonas la probablojn al la matrico pri neta gajno:

$$
\left\{
\begin{aligned}
\hphantom{+} 0p_1 + 3p_2 – 2p_3 – 3p_4 – 4p_5 = 0\\
– 3p_1 + 0p_2 + 5p_3 – 2p_4 – 3p_5 = 0\\
+ 2p_1 – 5p_2 + 0p_3 + 7p_4 – 2p_5 = 0\\
+ 3p_1 + 2p_2 – 7p_3 + 0p_4 + 9p_5 = 0\\
+ 4p_1 + 3p_2 + 2p_3 – 9p_4 + 0p_5 = 0
\end{aligned}
\right.
$$

aŭ sen nultermoj

$$
\left\{
\begin{aligned}
\hphantom{+ 0p_1} + 3p_2 – 2p_3 – 3p_4 – 4p_5 = 0\\
– 3p_1 \hphantom{+ 0p_2} + 5p_3 – 2p_4 – 3p_5 = 0\\
+ 2p_1 – 5p_2 \hphantom{+ 0p_3} + 7p_4 – 2p_5 = 0\\
+ 3p_1 + 2p_2 – 7p_3 \hphantom{+ 0p_4} + 9p_5 = 0\\
+ 4p_1 + 3p_2 + 2p_3 – 9p_4 \hphantom{+ 0p_5} = 0
\end{aligned}\tag{2}
\right.
$$

La sistemo \((2)\) havas kvin ekvaciojn kaj kvin variablojn, do ĝi estas solvebla ekzemple per la Gaŭsa eliminado. Bedaŭrinde montriĝas, ke la sistemo havas senfinan nombron da solvoj. Sed memoru, ke ni havas la aldonan kondiĉon \((1)\). Per aldoni tiun kondiĉon al la sistemo \((2)\) ni ekhavas

$$
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\hphantom{+ 0p_1} + 3p_2 – 2p_3 – 3p_4 – 4p_5 = 0\\
– 3p_1 \hphantom{+ 0p_2} + 5p_3 – 2p_4 – 3p_5 = 0\\
+ 2p_1 – 5p_2 \hphantom{+ 0p_3} + 7p_4 – 2p_5 = 0\\
+ 3p_1 + 2p_2 – 7p_3 \hphantom{+ 0p_4} + 9p_5 = 0\\
+ 4p_1 + 3p_2 + 2p_3 – 9p_4 \hphantom{+ 0p_5} = 0\\
\hphantom{+ 1}p_1 + \hphantom{1}p_2 + \hphantom{1}p_3 + \hphantom{1}p_4 + \hphantom{1}p_5 = 1
\end{aligned}\tag{3}
\right.
\end{equation}
$$

kiu havas unusencan solvon:
$$
\begin{equation}
p_1 = \frac{10}{66},\: p_2 = \frac{26}{66},\: p_3 = \frac{13}{66},\: p_4 = \frac{16}{66},\: p_5 = \frac{1}{66}
\end{equation}
$$

(Jen la solvo per Wolfram Alpha. Atendu momenton, kiam la paĝo solvas la sistemon.)

Kion tiu solvo signifas, estas jena. Kondiĉe ke vi ludas sufiĉe grandan nombron de rondoj, vi ne malvenkos aŭ pli precize via sumo de netaj gajnoj proksimiĝos al nul, se vi hazarde elektas nombrojn laŭ tiuj probabloj. Notu, ke vi nepre devas hazarde elekti la nombron ĉiufoje, ĉar la atendata valoro ŝanĝiĝos, se vi eĉ unu fojon provos iel diveni la elekton de via kontraŭulo. Por atesti tion mi ne studis sufiĉe da statistiko.

Ĉar esenca parto de la ludo estas logi la kontraŭulon elekti certan nombron, tiu metodo de tute hazarde elekti nombron povas kolerigi vian kontraŭulon. Do kvankam la optimuma strategio garantias, ke vi ne malvenkos, ĝi ne garantias, ke vi havos agrablan momenton de ludado 🖐

---

1. Jam laŭ la reguloj ambaŭ ludantoj scias nenion pri la sekva elekto de la kontraŭulo.∎ ↩︎
2. Finne normaalin muodon peli. ↩︎
3. Mi antaŭe skribis pri ludo kun splitetoj, kaj tiu skribaĵo enhavas ligilon al decida arbo. ↩︎
4. Jen fakte ”ne malvenki” ne aŭtomate signifas venkon. ↩︎