parte kreita helpe de AI
Enkonduko
Yale Babylonian Collection [en] estas kolekto de la babilonaj artefaktoj en la Universitato Yale en Usono. La origino de la kolekto estas donaĵo de kojnoskribaj argiltabuletoj en la komenco de la jarcento 1900. Nuntempe la kolekto estas unu el la plej vastaj kolektoj de skribaĵoj el la praa Proksima Oriento.
Argiltabuletoj estas unu el la plej malnovaj materialoj, sur kiujn oni skribis – pli malnovaj ol ekzemple papiruso. Jam sumeranoj (ĉ. 3500–2000 a.n.e.) uzis argiltabuletojn. Estas sufiĉe facile preni eltranĉitan kanon sur argiltabuletojn kaj skribi tiam longe, kiam la argilo restas mola. Oni povis iagrade malsekigi la tabuletojn, por ke ili restu pli longe surskribeblaj.
La plej gravajn dokumentojn, ekzemple kontraktojn pri vendo de domo1, oni bakis en forno por konservi ilin. Kontraste malgravajn tabuletojn oni uzis preskaŭ unuuze. Nebakitan argilon oni povis recikligi.
La artefakto YBC 7289
La artefakto YBC 7289 estas el ĉi tiu lastmenciita, malgrava, speco. Temas pri ronda, malgranda argiltabuleto2 el la periodo de la Babilono regno (ĉ. 2000–600 a.n.e.). Oni taksas, ke oni uzis la argiltabuleton iam inter 1800 kaj 1600 a.n.e.
Ambaŭflanke de la argiltabuleto estas desegnaĵoj kun kojnoskribitaj simboloj. La unua flanko havas rektangulon kaj parte viŝitajn simbolojn, sed la dua flanko faras la argiltabuleton unu el la plej gravaj matematikaj artefaktoj en la mondo. Sur tiu flanko estas kvadrato kun diagonalo. Unu flanko de la kvadrato havas simbolon 𒌍, kaj apud la diagonalo estas sekvoj de simboloj 𒐕 ⟪𒐘 𒐐𒐕 𒌋 kaj 𒐏𒐖 ⟪𒐙 𒌍𒐙. Tiuj estas babilonaj nombroj.
La babilonanoj bazis sian nombrosistemon sur la sumera nombrosistemo, kiu estis mikso de dekuma kaj sesdekuma nombrosistemoj. Dum sia regno la babilonanoj kreis puran pozician sesdekuman nombrosistemon. Pli ol tri mil jaroj antaŭ nuntempo! Memoru, ke nek la aktikvaj grekoj nek la romianoj uzis poziciajn nombrosistemojn3, kvankam ili vivis pluraj centoj de jaroj post la babilonanoj.
La sistemo havas la sekvajn ciferojn:
| 1–10 | 11–20 | 21–30 | 31–40 | 41–50 | 51–59 |
|---|---|---|---|---|---|
| 𒐕 | 𒌋𒐕 | ⟪𒐕 | 𒌍𒐕 | 𒐏𒐕 | 𒐐𒐕 |
| 𒐕𒐕 | 𒌋𒐖 | … | … | … | … |
| 𒐗 | … | … | … | … | … |
| 𒐘 | … | … | … | … | … |
| … | … | … | … | … | … |
| 𒐝 | 𒌋𒐝 | ⟪𒐝 | 𒌍𒐝 | 𒐏𒐝 | 𒐐𒐝 |
| 𒌋 | ⟪ | 𒌍 | 𒐏 | 𒐐 |
Notu, ke komence la sistemo havis neniun simbolon por nul, anstataŭe oni uzis spacon. Poste oni ekuzis la simbolon (
) por indiki senvaloran lokon ene de nombro, sed ne en la fino4. Ekzemple oni metis ĝin inter 𒌋𒐕 kaj 𒐕 por indiki nombron 𒌋𒐕𒐕 aŭ \((11,0,1)_{60}\), en kiu la suba indico indikas la bazon de sesdek. Memoru, ke temas pri pozicia sekduma nombrosistemo, do tiu nombro egalas en nia dekuma nombrosistemo la nobron
$$
11\cdot 60^2 + 0\cdot 60^1 + 1\cdot 60^0 = 39 600 + 0 + 1 = 39601
$$
Ankaŭ notu, ke la babilona sistemo havis neniun disigilon por onoj, do dependas de la kunteksto, ĉu oni interpretu 𒌍 ekzemple kiel \(30\cdot 60^1 = 30\) aŭ \(30\cdot 60^{-1} = \frac{30}{60}\).
La nombroj sur la tabuleto
Eblas interpreti la nombrojn sur la tabuleto jene:
- 𒌍 aŭ 30
- 𒐕 ⟪𒐘 𒐐𒐕 𒌋 aŭ \((1;24,51,10)_{60}\)
- 𒐏𒐖 ⟪𒐙 𒌍𒐙 aŭ \((42;25,35)_{60}\)
kie la nombro antaŭ la punktokomo indikas la entjeran parton de la nombro kaj post la punktokomo estas la onaj partoj. Tiam la du lastaj egalas
$$
\begin{aligned}
(1;24,51,10)_{60}
&= 1\cdot{60^{0}} + 24\cdot{60^{-1}} + 51\cdot{60^{-2}} + 10\cdot{60^{-3}} \\
&= 1 + \frac{24}{60^1} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} \\
&= \frac{305470}{216000}
\end{aligned}
$$
kaj
$$
\begin{aligned}
(42;25,35)_{60}
&= 42\cdot{60^{0}} + 25\cdot{60^{-1}} + 35\cdot{60^{-2}} \\
&= 42 + \frac{25}{60^1} + \frac{35}{60^2} \\
&= \frac{30547}{720}
\end{aligned}
$$
Kion tiuj signifas? La unua havas proksimuman valoron de 1,414213 kaj la dua 42,426. Tiuj estas proksimumaj valoroj de la kvadrata radiko de 2, \(\sqrt{2}\), respektive 30 multiplikita per la kvadrata radiko de 2, \(30\sqrt{2}\). Do la tabuleto montras matematikan hejmtaskon de studento en suda Mezoptamio antaŭ ĉ. tri kaj duono de mil jaroj! Alia ege rimarkinda afero estas la precizeco, ĉar la al sep decimaloj rondigita valoro de \(\sqrt{2}\) estas 1,4142136, do la babilona kalkulado havas kvin5 ĝustajn decimalojn!
Kiel la babilonanoj kalkulis kvadratajn radikojn?
Unue notu, ke la babilonanoj ne konis la simbolon por kvadrata radiko, √ , kaj ĉi tial nur la lokiĝo de la nombroj apud la diagonalo montras, ke temas pri kvadrata radiko. Pli esenca estas la demando: Kiel la praa studento kalkulis por atingi la nombron 𒐕 ⟪𒐘 𒐐𒐕 𒌋, kiun ri uzis por proksimuma valoro de la kvadrata radiko de 2?
La babilona metodo
Por ilustri la metodon, kiun la babilonanoj uzis, mi uzas la eŭropajn ciferojn en la dekuma nombrosistemo.
Unue la babilonanoj havis tabelon pri konataj kvadratoj:
| nombro | kvadrato |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 4 | 16 |
| 5 | 25 |
| … | … |
Kiam ili bezonis kalkuli kvadratan radikon de iu nombro, oni prenis la nombron, kiu respondas al la plej proksima kvadrato de la nombro6, kies kvadratan radikon oni volas ekscii. Poste oni ĝustigis tion por atingi pli bonan proksimumaĵon.
Ekzemplo 1
Ni volas kalkuli la kvadratan radikon de 17. La plej proksima kvadrato estas 16, kiu estas kvadrato de 4. Do nia komenca proksimumaĵo estas \(\sqrt{17}\approx 4\).
Ĉar 16 estas malpli ol 17, ni scias, ke ni devas adicii ion. Ni prenu la diferencon inter 17 kaj 16 divita per nia komenca proksimumaĵo multiplikita per 2.
$$
\begin{aligned}
\sqrt{17} &\approx 4 + \frac{17-16}{4\cdot{2}} \\
\sqrt{17} &\approx 4 + \frac{1}{8}
\end{aligned}
$$
La laŭmetoda proksimumaĵo estas 4,125 anstataŭ la pli ĝusta 4,123… sed surprize proksime.
Ekzemplo 2
Ni volas kalkuli la kvadratan radikon de 23. La plej proksima kvadrato estas 25, kiu estas kvadrato de 5. Do nia komenca proksimumaĵo estas \(\sqrt{23}\approx 5\).
Ĉar 25 estas pli ol 23, ni scias, ke ni devas subtrahi ion. Ni simple prenu ankaŭ ĉi-foje la diferencon inter 23 kaj 25 divita per nia komenca proksimumaĵo multiplikita per 2.
$$
\begin{aligned}
\sqrt{23} &\approx 5 + \frac{23-25}{5\cdot{2}} \\
\sqrt{23} &\approx 5 + \frac{-2}{10}
\end{aligned}
$$
La laŭmetoda proksimumaĵo estas 4,8 anstataŭ la pli ĝusta 4,796… sed ankaŭ ĉi-foje surprize proksime.
La kvadrata radiko de du
Laŭ tiu metodo ni ricevas por la kvadrata radiko de 2:
$$
\begin{aligned}
\sqrt{2} &\approx 1 + \frac{2-1}{1\cdot{2}} \\
\sqrt{2} &\approx 1 + \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
Anstataŭ la pli ĝusta7 proksimumaĵo 1,4142135… nia proksimumaĵo estas 1,5, kiu ne estas bona rezulto. Sed ni povas ripeti la metodon uzante tiun proksimumaĵon. Ĉi-foje ni uzu la duan potencon en la dividato jene:
$$
\begin{aligned}
\sqrt{2} &\approx \frac{3}{2} + \frac{2-({\frac{3}{2}})^2}{(\frac{3}{2}) \cdot 2} \\
\sqrt{2} &\approx \frac{3}{2} + \frac{-\frac{1}{4}}{3} \\
\sqrt{2} &\approx \frac{17}{12}
\end{aligned}
$$
Nun ni atingas ete pli bonan proksimumaĵon 1,4166… aŭ ĝis unu decimalo. Ni denove ripetu uzante la atingitan proksimumaĵon kaj la duan potencon en la dividato.
$$
\begin{aligned}
\sqrt{2} &\approx \frac{17}{12} + \frac{2-({\frac{17}{12}})^2}{(\frac{17}{12}) \cdot 2} \\
\sqrt{2} &\approx \frac{17}{12} + \frac{-1}{408} \\
\sqrt{2} &\approx \frac{577}{408}
\end{aligned}
$$
Ĉi-foje nia proksimumaĵo estas 1,4142156… aŭ ĝis kvin decimaloj. Ni denove ripetu.
$$
\begin{aligned}
\sqrt{2} &\approx \frac{577}{408} + \frac{2-({\frac{577}{408}})^2}{(\frac{577}{408}) \cdot 2} \\
\sqrt{2} &\approx \frac{577}{408} + \frac{-1}{470832} \\
\sqrt{2} &\approx \frac{665857}{470832}
\end{aligned}
$$
Nun nia proksimumaĵo 1,41421356237469… estas tiel bona, ke ni bezonas pli precizan ĝustan proksimumaĵon 1,41421356237309… por taksi la rezulton. Ŝajnas, ke jam per nur kvar iteracioj ni atingis proksimumaĵon ĝis dek unu decimaloj. Fakte ĉi tiu algoritmo estas tiel efika, ke ankoraŭ la nunaj komputiloj esence uzas ĝin por kalkuli kvadratajn radikojn.
La metodo en praktiko
Verŝajne vi demandas vin, kiel la babilonanoj sciis, kiam ĉesigi kalkuladon. Kiom da iteracioj sufiĉas? Oni utilis matematikon en Babilono por mezuri areojn kaj por arkitekturaj celoj. Tiam sufiĉas preziceco ĝis preziceco de mezuriloj. Ekzemple en la okazo de la kvadrata radiko de du jam el tri iteracioj rezultas precizeco, kiu superas la prezicecon de tiutempaj mezuriloj.
Krome notu, ke per la babilona sesdekuma nombrosistemo oni atingas pli prezicajn proksimumaĵojn pli rapide ol per nia dekuma nombrosistemo. Ĉi tial la nombro 𒐕 ⟪𒐘 𒐐𒐕 𒌋 estis pli ol sufiĉa proksimumaĵo de \(\sqrt{2}\) por ĉiuj praktikaj celoj en Babilono.
Fontoj
- YBC 7289 en la kolekto de la Universitato Yale
- la Vikipedia artikolo pri YBC 7289 [en]
- la Vikipedia artikolo pri la babilonaj ciferoj
- Jutuba filmeto Ancient trick to calculate ANY square root [en]
- Rigardu ekzemple la artefakto YBC 07081 [en] , kontrakto pri pago de domo. ↩︎
- Larĝeco 8,2 cm, alteco 9,2 cm, dikeco 2,2 cm. ↩︎
- Rigardu la artikolon Kreikkalaiset numerot [fi] . ↩︎
- Alivorte ”nul” ne estis vera cifero en la babilona nombrosistemo, ĉar oni ne povis kalkuli per ĝi. La nuntempan nulon kun reguloj por kalkulo inventis la hinda matematikisto Brahmagupta (sanskrite ब्रह्मगुप्त). ↩︎
- Notu, ke la proksimumaĵo 1,414213 estas ekzakta valoro, kiu havas ses decimalojn. Se vi rondigas la valoron de \(\sqrt{2}\) al ses decimaloj, la valoro estas 1,414214. Do nur la proksimumaĵo havas kvin ĝustajn decimalojn. ↩︎
- La metodo funkcias eĉ tiam, kiam vi elektas hazarde la unuan proksimumaĵon, sed tiam la kalkuladoj povas esti tedaj. ↩︎
- Ekzistas retejoj el kiuj eblas atingi ege prezicajn proksimumaĵojn. Ekzemple el WolframAlpha oni ricevas proksimumaĵon minimume de 72 decimaloj. ↩︎