Tämä artikkeli käsittelee pääasiassa numerojärjestelmiä.

Arabialaiset numerot

Suomessahan ovat käytössä ns. arabia­laiset numerot, joiden nimi tulee siitä, että merkkien esi­­kuvat ovat peräisin arabeilta. Nimi on harhaan­­­­­johtava, koska oikeat arabia­laiset numerot, ns. itä­­­­­arabialaiset, eroavat ulko­­­näöltään käyttämis­tämme ns. länsi­­­arabialaisista¹ numeroista. Oikeastaan pitäisi kai puhua puhua intialaisista numeroista, hindaj ciferoj, koska ne ovat olleet itä­­­­­arabialaistenkin numeroiden esi­­­kuvina. Paitsi että intialaisia numeroita on lukuisia eri puolilta Intian niemi­­­­maata eri aika­­­­kausilta.

Tässä muutama esimerkki nykyisistä numero­­­­järjestelmistä².

Koska meidän käyttämämme numero­­­­­merkit ovat eurooppalaisten tekemiä mukaelmia (itä)arabialaisista numeroista, esperantoksi näitä merkkejä kutsutaan nimellä eŭropaj ciferoj.

Kaikkia edellä mainitsemiani numeroita käytetään kantaluku­­­­­järjestelmissä, poziciaj nombro­sistemoj, joista tunnetuin on tietenkin joka­­­­päiväinen kymmen­­­­­järjestelmä, dekuma nombro­sistemo. Kantaluku­­­­­järjestelmät ovat paikka­­­­­sidonnaisia, mikä tarkoittaa, että numeron paikka luvussa osoittaa, monennestako kanta­­­­luvun – kymmen­­­­­järjestelmässä kanta­­­luku on nimensä mukaisesti kymmenen – potenssista on kysymys.

Tämä tarkoittaa, että esi­­merkiksi vuosi­­­­­luku tuhatkahdeksan­­­sataa seitsemänkymmentä­­­­yhdeksän 1879 koostuu numeroista, jotka osoittavat tuhansien, satojen, kymmenien ja ykkösten määrän. Näin ollen tuo vuosiluku 1879 on tulos lasku­­­­toimituksesta:

$$\begin{aligned}
1 \times 10^3 + 8 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 9 \times 10^0\\
= 1 \times 1000 + 8 \times 100 + 7 \times 10 + 9 \times 1\\
= 1000 + 800 + 70 + 9\\
= 1879\end{aligned}
$$

Numeron arvo siis riippuu sen paikasta, mistä seuraa se toinen merkittävä ero. Sellaista paikkaa varten, josta arvo puuttuu, tarvitaan myös osoitin. Tämä maaginen osoitin on numero nolla, arabialaisin numero­merkein 0.

Roomalaiset numerot

Ennen näitä Intiasta saatuja numeroita Euroopassa olivat laajasti käytössä ns. roomalaiset numerot, romiaj ciferoj, jotka eivät muodosta paikka­­­sidonnaista järjestelmää. Roomalainen numero­­­järjestelmä koostuu neljästä perus­­­merkistä I, X, C ja M sekä kolmesta lisä­merkistä V, L ja D, jotka vastaavat kymmen­­­järjestelmän lukuja 1, 10, 100 ja 1000 sekä 5, 50 ja 500. Merkit muodostavat sarjan, jossa kunkin numero­­­merkin arvolle on kaksi tulkintaa (muita vaihto­­ehtoja ei ole):

• merkin arvo itse, jos merkkiä seuraavan merkin arvo on yhtä suuri tai pienempi kuin merkin arvo
• merkin arvo vähentää seuraavan merkin arvo, jos seuraavan merkin arvo on yhtä arvoa suurempi

Kirjoitetun luvun arvo saadaan laskemalla yhteen näiden merkkien arvot, joten järjestelmää kutsutaan additiiviseksi, adicia nombrosistemo. Esi­­merkkini luku 1879 kirjoitettuna roomalaisin numeroin on MDCCCLXXIX, jossa (sulut ja väli­merkit ovat asian selventämiseksi)

$$\begin{aligned}
\text{M D CCC L XX IX}\\
= \text{M + D + (C + C + C) + L + (X + X) + (X – I)}\\
= 1000 + 500 + (100 + 100 + 100) + 50 + (10 + 10) + (10 – 1)\\
= 1000 + 800 + 70 + 9\\
= 1879\end{aligned}
$$

Roomalainen järjestelmä eroaa hyvin paljon paikka­­­sidonnaisista järjestelmistä. Ensinnäkin jokaisella merkillä on absoluuttinen arvo, joten uusia merkkejä tarvitaan, kun arvoa ei enää voi esittää olemassa olevilla. Lisäksi oli olemassa kirjoitus­sääntö, että kukin lisä­merkki saa esiintyä vain kerran. Kun lisäksi samaa perus­merkkiä saa esiintyä korkeintaan kolme peräkkäin³ ja ”neljä” ilmaistaa vähentämällä, suurin noilla merkeillä ilmaistava luku on

$$\begin{aligned}
\text{MMMCMXCIX}\\
= 1000 + 1000 + 1000 + (1000-100) + (100-10) + (10-1)\\
= 3000 + 900 + 90 + 9\\
= 3999\end{aligned}
$$

Arjessa tuo tietysti riitti aivan mainiosti, koska yleensä tarvitsi laskea vain rahoja, ja kuinka ollakaan roomalainen raha­­­järjestelmä oli sellainen, että pienet luvut riittivät useimmille.

Suurempien lukujen merkitsemiseen käytetyt menetelmät vaihtelivat, mutta yleisin oli tuhannella kertomista osoittava ylle vedetty viiva ⁴, joka sitten tarvittaessa toistettiin merkitsemään miljoonalla kertomista. Kahden ylle vedetyn viivan asemesta käytettiin usein yhtä alle vedettyä viivaa merkitsemään miljoonalla kertomista.

$$
\newcommand{\overbar}[1]{\mkern 1.5mu\overline{\mkern-1.5mu#1\mkern-1.5mu}\mkern 1.5mu}
\newcommand{\underbar}[1]{\mkern 1.5mu\underline{\mkern-1.5mu#1\mkern-1.5mu}\mkern 1.5mu}
\overbar{\text{IV}} = 1000 \times 4 = 4000\\
\overbar{\text{IV}} \, \text{I} = 4001\\
\overbar{\text{IV}} \, \text{II} = 4002\\
…\\
\overbar{\text{IV}} \, \text{CMXCIX} = 4999\\
\overbar{\text{V}} = 5000\\
…\\
\overbar{\text{M}} = 1000 \times 1000 = 1\,000\,000 \, \text{(miljoona)}\\
\text{tai}\\
\underbar{\text{I}} = 1\,000\,000 \times 1 = 1\,000\,000 \, \text{(miljoona)}\\
…\\
\overbar{\overbar{\text{X}}} = 1000 \times 1000 \, \text{x} \,10 = 10\,000\,000 \, \text{(kymmenen miljoonaa)}\\
\text{tai}\\
\underbar{\text{X}} = 1\,000\,000 \times 10 = 10\,000\,000 \, \text{(kymmenen miljoonaa)}\\
…\\
\overbar{\overbar{\text{M}}} = 1000 \times 1000 \times 1000 = 1\,000\,000\,000 \, \text{(miljardi)}\\
\text{tai}\\
\underbar{\text{M}} = 1\,000\,000 \times 1\,000 = 1\,000\,000\,000 \, \text{(miljardi)}
$$

Kuten huomaat, numero­­­järjestelmä on erittäin kömpelö, mikä voisi äkkiseltään ajatellen selittää sen, miksi roomalaiset eivät loistaneet matematiikassa. Vai tunnetko ensimmäistäkään roomalaista matematiikkoa? En tiedä, johtuiko numero­­­­järjestelmästä myös seikka, että roomalaiset olivat surkeita myös talous­­­­asioissa. Käytännössä valtion kirstua vaivasi krooninen raha­­pula, mitä paikattiin joko ryöstämällä naapureilta tai lyömällä lisää kolikoita, mikä johti krooniseen inflaatioon.

Mitä matematiikkaan tulee, vasta­­kohta antiikin Kreikkaan ei olisi voinut olla suurempi, sillä liki jokainen on kuullut jonkun kreikkalaisen matemaatikon nimen: Euklides, Pythagoras, Arkimedes, Aristoteles… Tässä kohdin ei pidä unohtaa matematiikan kuuluisimpiin naisiin kuuluvaa Hypatia Aleksandria­laista, joka joutui öykkäröivien kristittyjen raa’asti surmaamaksi.

Oletko ikinä tullut kysyneeksi itseltäsi, minkälainen numero­­­­järjestelmä noilla kuuluisilla antiikin kreikkalaisilla matemaatikoilla oli käytössään? Heillähän ei tietenkään voinut olla arabialaista tai roomalaista numero­­­­järjestelmää, koska nämä keksittiin myöhemmin… Kyllä, heillä olivat kreikkalaiset numerot!

Kreikkalaiset numerot

Itse asiassa antiikin kreikkalaisilla oli useita numero­­­­järjestelmiä. Varhaisimmat ovat lineaari A – ja lineaari B ‑kirjoitus­­­järjestelmiin, liniaj skriboj A kaj B, kuuluneet symbolit, joita käytettiin Kreetalla vast. Mykeneessä. Vaikka itse kirjoitus­­­­järjestelmiä ei ole täysin pystytty selvittämään, tiedetään, että niihin kuului joukko numero­­­­symboleita (tässä osa).

Todennäköisesti symboleita on käytetty additiivisesti eli yhteen­­­laskien eli 1879 kirjoitettaisiin 𐄢𐄙𐄙𐄙𐄙𐄙𐄙𐄙𐄙𐄐𐄐𐄐𐄐𐄐𐄐𐄐𐄁𐄁𐄁𐄁𐄁𐄁𐄁𐄁𐄁. Varmaksi en osaa sanoa. Joka tapauksessa järjestelmän on täytynyt olla äärimmäisen kömpelö. Huomattavasti käyttö­­­kelpoisempia ovat akrofoninen ja varsinkin aakkosellinen numero­­­järjestelmä.

Akrofoninen numerojärjestelmä

Akrofonisessa numero­­­järjestelmässä, akrofonia nombrosistemo, on perus­­merkit luvuille 1, 5, 10, 100, 1 000 ja 10 000. Ykkösen merkki on pysty­­­­viiva tai kreikkalainen aakkonen ioota. Muiden merkkinä numeroa tarkoittavan sanan ensimmäinen kirjain. Perus­­­merkkien lisäksi järjestelmä sisältää yhdistelmä­­­merkit luvuille 50, 500, 5 000 ja 50 000.

Näitä merkkejä sitten yhdisteltiin yhteen­­­laskien suurimmasta pienimpään luvun ilmaisemiseksi. Niinpä esimerkki­­­lukuni 1879 kirjoitettuna akrofonisin numeroin on:

eli
$$\begin{aligned}
1000 + (500 + 100 + 100 + 100) + (50 + 10 + 10) + (5 + 1 + 1 + 1 + 1)\\
= 1000 + 800 + 70 + 9\\
= 1879\end{aligned}
$$

Kuten näet kreikkalaisilla ei ollut vähennystä roomalaisten tapaan. Muutoin järjestelmä kovasti muistuttaa roomalaista, mikä ei olekaan ihme, sillä roomalaiset kopioivat järjestelmän etruskeilta, etruskoj, jotka olivat kopioineet sen kreikkalaisilta. Roomalaiset kun eivät voineet ottaa mallia suoraan heidän mielestään velli­­­­housuisilta kreikkalaisilta. Roomalaisten – tai etruskien, en tiedä – panos oli sitten vähennys­­­­laskutoimituksen lisääminen, joka hieman lyhensi merkintää.

Akrofonisessa järjestelmässä ovat kaikki samat heikkoudet kuin roomalaisten järjestelmässä, joten eivät kai historian kuuluisat kreikkalaiset matemaatikot tuollaisilla numeroilla laskeneet? Eivät toki, vaan he käyttivät aakkosellista numero­­järjestelmää.

Aakkosellinen numerojärjestelmä

Tärkeimpiin antiikin kreikkalaisten keksimiin asioihin kuuluu sellainen, jota moni ei tule edes ajatelleeksi, että on täytynyt keksiä. He nimittäin keksivät aakkos­­­­järjestyksen: \(\alpha, \beta, \gamma…\) Aakkos­­­järjestys, alfabeta ordo, on niin merkittävä asia, että jopa piirto­­­­kirjoituksella kirjoitettaviin kieliin, esimerkiksi japaniin ja kiinaan, on myöhemmin pitänyt keksiä ”aakkos­­­­järjestys”⁵ eli jokin kaikkien tuntema kirjoitukseen käytettävien merkkien järjestys.

Kun kerran aakkosilla on järjestys, miksei aakkosia käyttäen voisi merkitä numeroita, joilla järjestys on vielä selkeämpi, onhan yksi vähemmän kuin kaksi, joka on vähemmän kuin kolme jne. Näin syntyi aakkosellinen numero­­­­järjestelmä, alfabeta nombro­sistemo, jota toisinaan kutsutaan joonialaiseksi numero­­­­järjestelmäksi, iona nombro­sistemo. Kyseessä on kymmen­­­­järjestelmä, jossa luvuille yhdestä yhdeksään käytetään aakkosten yhdeksään ensimmäistä kirjainta eli alfasta \(\alpha\) theetaan \(\theta\)⁶. Ioota \(\iota\) tarkoitti kymmentä, kappa \(\kappa\) kahta­­kymmentä jne. Isoin merkki oli sampi ͳ (nyky­­kreikaksi ϡ), joka tarkoitti yhdeksää­­­­sataa.

Jotta nämä numeroiksi tulkittavat kirjaimet eivät olisi sekoittuneet tavallisiin kirjaimiin, tuhatta pienempiin numeroihin lisättiin κεραῖα (keraia), suom. tunto­­sarvi, palpilo, joka muistutti nykyistä aksentti­­­­merkkiä. Tuhannesta alkaen kirjaimia käytettiin uudelleen alusta, mutta tällöin merkkinä oli numeroa edeltävä pilkku. Siis ιβ´ = 12 mutta ,ιβ = 1200.

En ole varma, miten merkittiin tuhansien ja pienempien yksiköiden ero. Luultavasti ei mitenkään, vaan lukijan täytyi päätellä raja asia­­­yhteydestä. Käyttäen erottimena, disigilo, nyky­­­ajan väli­­­lyöntiä, spaco, esi­merkki­­lukuni 1879 aakkosellisella numero­­­järjestelmällä kirjoitettuna näyttää tältä:

,\(\alpha \, \omega\omicron\theta\)’ = 1 000 x 1 + 800 + 70 + 9 = 1879

Merkittävä kimmoke matematiikkaan antiikin Kreikassa tuli verotuksesta eli kuinka paljon peltoja kullakin oli, koska pelto­­­­ala määritti kannettavat verot. Kreikkahan on vuoristoista, joten pellot eivät suinkaan aina olleet tasaisia suora­­­­kaiteen muotoisia. Tästä syystä aakkosellista numero­­­­järjestelmää käytettiin ennen kaikkea pinta-aloja laskettaessa, mistä seuraa, ettei numero­­­­järjestelmässä ole nollaa, nul, koska pinta-alaltaan nollan kokoista peltoa ei ole olemassa⁷.

Aakkosellinen numero­­­­järjestelmä oli niin tehokas ja niin lähellä aakkosia, että antiikin kreikkalaiset matemaatikot pystyivät yleistämään geometrian lasku­­­­kaavoja, mistä esi­­­merkkinä on kaikkien tuntema Pythagoraan lause, la teoremo de Pitagoro, joka latinalaisin kirjaimin kuuluu

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Tuollaisen lauseen keksiminen ei yksin­­kertaisesti ollut mahdollista roomalaisin numeroin.

Nykyiset kreikkalaiset numerot

Huomaa, että olen edellä puhunut antiikin ajoista. Sekä Bysantin aikana että nyky­­­aikana kreikkalaiseen numero­­­­järjestelmään on tehty jonkin verran muutoksia, koska kreikan kieli ja sen kirjoittamiseen käytettävät kirjaimet ovat muuttuneet. Järjestelmässä on säilytetty kirjaimia, jotka ovat jääneet pois käytöstä, toisaalta joidenkin kirjainten kirjoitus­­­­tapa on muuttunut.

Tietenkin arabialaiset numerot ovat jo kauan sitten korvanneet kreikkalaiset numerot sekä matematiikassa että päivittäisessä käytössä, mutta kreikkalaisille numeroille on jäänyt oma käyttö­­­­alueensa. Niitä nimittäin käytetään nyky­­­kreikassa samaan tapaan kuin me käytämme roomalaisia numeroita! Eli isoina kirjaimina osoittamassa järjestys­­­­lukuja. Niinpä Kreikan viimeisen kuninkaan nimi Konstantin II on kreikaksi Κωνσταντίνος Β΄ eli Konstantinos II.

---

Joitakin lähteitä:

• suomenkielisen Wikipedian artikkelit arabialaisista ja kreikkalaisista numeroista
• esperantonkielisen Wikipedian artikkeli kreikkalaisista numeroista
• englanninkielisen Wikipedian artikkeli indoarabialaisista numerojärjestelmistä

1. Länsi­­arabiaksi kutsuttiin aluetta, johon kuului Pohjois-Afrikka mukaan lukien Andalusia nykyisessä Espanjassa.
2. Tarkalleen ottaen pitäisi tehdä ero numero­­­järjestelmien ja niissä käytettyjen numero­­­merkkien, glyyfien, kesken. Yksin­­kertaistan tässä kuitenkin käyttäen termiä numero­­­järjestelmä kattamaan myös siinä käytettävät numero­­­merkit.
3. Roomalaiset eivät itse olleet niin tarkkoja tämän kanssa, joten saattoivat hyvin merkitä neljän neljällä viivalla IIII, mitä nykyäänkin näkee kello­­tauluissa.
4. Ylä- ja ala­puoliset viivat voivat joillain selaimilla näkyä liian pitkinä.
5. Japanissa ja kiinassa tämä perustuu siveltimen vetojen määrään.
6. Nyky­­­kreikkaa taitavat älähtävät tässä kohtaa, koska theeta on nyky­­­aakkosten kahdeksas kirjain. Aakkosellisessa numero­­­­järjestelmässä numero kuusi ilmaistiin joko muinais­­­­kreikassa epsilonin ja zeetan välissä olleen digamman ͷ tai myöhemmin sigman σ avulla, jolloin theeta on vasta yhdeksäs.
7. Kreikkalaiset kiinnostuivat myös tähti­­­tieteestä, jossa ajan merkitsemiseen he käyttivät 60-kantaisia babylonialaisia numeroita, babilonaj ciferoj. Tuossa numero­­­­järjestelmässä oli nolla.