Al ni skribi nombrojn estas tiel ĉiutaga fenomeno, ke ni ne eĉ pensas, kiom da evoluo necesis, por ke ni havu niajn nunajn nombrojn.

enkonduko

Kapablo por observi kvantojn ŝajnas esti tre frua fenomeno en la evoluo. Ekzemple abieloj povas kalkuli eĉ ĝis kvin kaj diversaj simioj ege pli.

Kia temas pri homoj, oni konjektas baze sur studoj pri lingvoj kaj manieroj kalkuli, ke kalkulado estas praa komuna maniero. Komence oni verŝajne kalkulis laŭ duuma nombrosistemo tiel, ke la kalkulanto ektenis du objektojn per siaj ambaŭ manoj kaj laŭte diris iajn nombrovortojn. Eble temis pri ritualo, post kiu ambaŭ partoj konstatis la tutan nombron de paroj, sed oni ne scias, por kiu celo oni kalkulis aŭ uzis la rezulton.

La sekva maniero kalkuli estis per fingroj, kaj oni ekuzis kvinuman nombrosistemon. Tiam la kialo jam estis praktika: kiom da manĝeblaj legomoj vi trovis aŭ kiom da viroj forvojaĝis por ĉasi? Por noti la rezultojn oni ekzemple uzis entranĉojn sur pecon de ligno aŭ osto¹. En pluraj skribsistemoj oni uzas punktoj por unuoj kaj liniojn por kvinoj. Poste oni larĝigis la nombrosistemojn ĝis dek (fingroj en du manoj) aŭ ĝis dudek (fingroj en du manoj kaj piedfingroj en du piedoj²). Estas ankaŭ pli maloftaj sistemoj, ekzemple dekduuma sistemo³ aŭ la sumera sesdekuma sistemo⁴, kiun ni konas el la maniero mezuri tempon kaj angulojn.

Fakte la plej fruaj tekstoj kun signoj por nombroj estas sumeraj. Jam la plej fruaj tekstoj enhavas tre grandajn nombrojn, kiuj estis penigaj skribi. Oni ripetis kelkajn signojn, kiel oni faris ankaŭ en la aktiva Grekio aŭ Romio. Tamen jam la akadanoj inventis la unuan pozician nombrosistemon ĉ. 2000 a.k.e.

Post multaj aliaj inventoj⁵ oni ekuzis la nunajn eŭropajn nombrojn preskaŭ ĉie en la mondo.

nunaj nombroj

naturaj nombroj

Notu, ke ĝis nun mi parolis pri t.n. naturaj nombroj, {1,2,3…}. Tiun senfinan aron oni markas en matematiko per duongrasa majuskla \(\mathbb{N}\). Depende de la lando aŭ bezono oni kelkfoje inkluzivas nulon⁶, do por eviti konfuzon oni ankaŭ uzas simbolojn \(\mathbb{N}^+\) por {1,2,3…} kaj \(\mathbb{N}_0\) por {0,1,2…} .

entjeroj

La aro de entjeroj konsistas de la aro \(\mathbb{N}^+\), ĉi ties respondaj negativaj nombroj kaj nul. Oni uzas la simblon \(\mathbb{Z}\) por tiu tuta aro, {…-2, ‑1, 0, 1, 2…} kaj la simblojn \(\mathbb{Z}^+\) kaj \(\mathbb{Z}^-\) por pozitivaj respektive negativaj entjeroj.

Notu, ke ĉiu natura nombro estas ankaŭ entjero, sed ne male. Oni diras, ke la aro de la naturaj nombroj estas subaro de la aro de la entjeroj, \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\).

racionalaj nombroj

Racionalaj nombroj, simbolo \(\mathbb{Q}\), estas aro de ĉiuj nombroj, kiujn oni povas reprezenti kiel frakcion de du entjeroj. Oni skribas frakcion tiel, ke super strekon oni skribas dividaton aŭ numeratoron ([fi] osoittaja) kaj suben dividanton aŭ denominatoron ([fi] nimittäjä).

Ĉar oni povas skribi ĉiun entjeron \(m\) kiel frakcion de du entjeroj \(\frac{m}{1}\), la aro de la entjeroj estas subaro de la aro de la racionalaj nombroj, \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\).

Notu, ke la aro de la racionalaj nombroj formas la plej malgrandan kampon ([fi] (luku)kunta), kiun oni neformale povas difini kiel aron \(A\), kiu havas du bazajn operaciojn adicio kaj multipliko tiel, ke la rezulto de tiuj operacioj inter du elementoj de la aro ĉiam apartenas al la aro⁷. Oni diras, ke la aro estas fermita rilate al operacio. Ekzemple la aro de la racionalaj nombroj estas fermita rilate al adicio.

reelaj nombroj

Neracionalaj nombroj estas tiaj nombroj, kiujn oni ne povas prezenti kiel frakcion de du entjeroj. Dum praaj tempoj oni kalkulis diversajn areojn, ekzemple kultivatajn kampojn. Tiam oni ekrimarkis, ke diagonalon de kvadrata areo oni povas kalkuli per aparta metodo. Tiun metodon oni nomis kvadrata radiko. Ekzemple se la kvadrata areo havas flankojn, kiuj estas po 1 unuo grandaj, la diagonalo estas \(\sqrt{2}\) aŭ ĉ. 1,4142… longa. Tiu ne estas racionala nombro.

Verŝajne la plej konata neracionala nombro krom \(\sqrt{2}\) estas pi, \(\pi\), kiu montras la rilatumon inter la perimetro de cirklo kaj ties diametro. Tiu rilatumo ne dependas de la grandeco de cirklo.

La aro de reelaj nombroj, simbolo \(\mathbb{R}\), konsistas el la racionalaj kaj la neracionalaj nombroj, \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).

Imagu senfinan mezurbendon, kies mezpunkto estas nul. Maldekstre de tiu mezpunkto estas markitaj negativaj kaj dekstre pozitivaj entjeroj. Ĉiuj punktoj, ne nur la markitaj, sur tiu bendo reprezentas reelajn nombrojn. En ĉiutaga vivo tiu mentala imago sufiĉas, kaj ĉi tial la aro de la reelaj nombroj kutime estas la plej granda, kiun oni normale uzas.

kompleksaj nombroj

La itala matematikisto Gerolamo Cardano studis aparte negativajn nombrojn. Li publikigis 1545 la libron Ars Magna, en kiu li konstatis, ke ekzistas ne reelaj solvoj al certa kuba ekvacio⁸. Sed li ne komprenis propraĵojn de tiaj ne-reelaj nombroj. La propraĵojn montris alia itala matematikisto Rafael Bombelli [en] en sia libro L’Algebra, 1572. Fakte plejparton de la nuna teorio pri kompleksaj nombroj inventis Bombelli.

Kutime oni skribas kompleksajn nombrojn en la formo \(z = x + yi\), en kiu \(x\) kaj \(y\) estas reelaj nombroj kaj \(i\) estas la imaginara unuo, kiu havas propraĵon, ke ĝia kvadrato egalas negativan unu, \(i^2 = {-1}\).

El tiu sola propraĵo, kiun \(i\) havas, sekvas multajn aliajn propraĵojn. Ekzemple la multiplika inverso de \(i\) estas ĝia adicia inverso, ĉar

$$
\frac{1}{i} = \frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = {-}i
$$

Por imagi nombrojn kun imaginara unuo (ŝerco celita) ni devas forlasi la imagon de mezurbando kaj anstataŭ pensi pri dudimensia plano, en kiu la reela parto \(x\) estas unu dimensio kaj la imaginara parto \(y\) la alia dimensio en la tipa dudimensia kartezia koordinatsistemo. Pro tiu dudimensieco oni povas skribi kompleksajn nombrojn anstataŭ per la rektangulaj koordinatoj \((x,y)\) (de \(z = x + yi\)) ankaŭ per la polusaj koordinatoj \((r, \theta)\)⁹, en kiuj \(\theta\) montras la angulon inter la pozitiva x-akso kaj y-akso kaj \(r\) montras la longecon de rektosegmento inter origino kaj la punkto \((x,y)\)¹⁰.

Esence kompleksaj nombroj estas punktoj en la dudimensia spaco \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) aŭ \(\mathbb{R}^2\) kun la operacioj de la kampo.

Notu, ke ĉiu reela nombro estas ankaŭ kompleksa nombro, sed ne male. Oni diras, ke la aro de la reelaj nombroj estas subaro de la aro de la kompleksaj nombroj, \(\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\).

pliaj aroj de nombroj

Vi certe rimarkis, ke ni etendis la arojn, \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\). La demando estas, ĉu ekzistas aroj, kiuj plie etendas la serion, konservante pli malpli la kondiĉoj por kampo.

Por \(\mathbb{R} ^3\) ne ekzistas tia nombrosistemo¹¹, dum por \(\mathbb{R} ^4\) ekzistas. Tiu nombrosistemo nomiĝas kvaterniona nombrosistemo, simbolo \(\mathbf{H}\)¹². Oni povas skribi kvaternionojn en la formo \(a+bi+cj+dk\), en kiu \(a,b,c\) kaj \(d\) estas reelaj nombroj kaj iliaj \(i, j\) kaj \(k\) estas bazaj vektoroj¹³, kiuj kontentigas la sekvajn kondiĉojn de multiplikado:

\(\cdot\)	\(1\)	\(i\)	\(j\)	\(k\)
\(1\)	\(1\)	\(i\)	\(j\)	\(k\)
\(i\)	\(i\)	\(-1\)	\(k\)	\(-j\)
\(j\)	\(j\)	\(-k\)	\(-1\)	\(i\)
\(k\)	\(k\)	\(j\)	\(-i\)	\(-1\)

Kiel vi rimarkas, la kvaternionaj \(i, j\) kaj \(k\) estas la samaj kiel la kompleksa unuo \(i\) aŭ \(i^2 = j^2 = k^2 = {-1}\) – aldone \(ijk = {-1}\). Notu, ke la multipliko de kvaternionoj estas nekomuta (kolorigitaj simboloj en la tabelo), ekzemple \(ij = k\), sed \(ji = {-k}\).

Oni povas mallonge skribi kvaternionon kiel la kvarvaloran opon \((a, b, c, d)\), kp. la duvalora opo \((x,y)\) de la kompleksaj nombroj. Tamen dume kompleksaj nombroj prezentas punktojn sur dudimensia plano, kvaternionoj ebligas prezenti punktojn en tridimensia spaco kun turnado¹⁴.

Ekzistas por \(\mathbb{R} ^8\) la oktoniona nombrosistemo, simbolo \(\mathbb{O}\), kaj por \(\mathbb{R} ^{16}\) la sedeniona nombrosistemo, simbolo \(\mathbb{S}\), sed tiuj sistemoj estas severe limigitaj kompare al reelaj aŭ kompleksaj sistemoj.

Notu, ke ekzistas pluraj aliaj aroj de nombroj, sed tiuj ne estas partoj en la serio \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\).

---

1. Unu el la plej fruaj fizikaj atestiloj pri kalkulado estas peco de osto de lupo, kiun oston oni trovis en eksa Ĉeĥoslovakio. La osto estas ĉ. 30 000 jaroj aĝa. Ĝi havas la nombron 55 per du grandaj grupoj de entranĉitaj linioj, unu kun 25 kaj la alia kun 30 linioj. Ambaŭ grupoj konsistas el serioj de linioj grupigitaj kvine. ↩︎
2. Ekzistas ankaŭ metodoj, per kiu oni povas kalkuli ĝis dudek per la artikoj en unu mano. ↩︎
3. Kvankam ekzemple la praĝermanaj *ainlif kaj *twalif (kp. la germana elf, zwölf), unu restante respektive du restante, evidentiĝas pri dekuma nombrosistemo, la konserviĝo de tiaj unikaj terminoj sugestas, ke dum pratempo ekzistis dekduuma sistemo. Nuntempe oni uzas dekduumajn nombrosistemojn krom Danio plejparte en kelkaj partoj en Niĝerio. ↩︎
4. Legu mian artikolon La artefakto YBC 7289. ↩︎
5. Legu ekzemple mian artikolon Kreikkalaiset numerot [fi] . ↩︎
6. Tradicie oni ne inkluzivis, sed en la moderna aroteorio oni inkluzivas. ↩︎
7. Pli detalan liston de necesaj aksiomoj por kampo vi trovas ekzemple en Vikipedio. ↩︎
8. Tiu estas laŭ la nuntempa notacio \(ax^3 + bx + c = 0\). ↩︎
9. La polusa formo estas \(z= r(\cos\theta + i \sin\theta)\). ↩︎
10. Laŭ la teoremo de Pitagoro \(r^2 = x^2 + y^2\). ↩︎
11. Atesti tion estas ekster la amplekso de ĉi tiu artikolo. ↩︎
12. La simbolo estas omaĝo al la irlanda matematikisto William Rowan Hamilton, kiu malkovris la kvaternionojn. ↩︎
13. Notu, ke \(a\) havas bazan vektoron 1. ↩︎
14. Pli pri prezentado de turnado per kvaterniono en la Vikipedia artikolo pri kvaternionoj. ↩︎