La operacio radiko – Finna babilejo

Juha Metsäkallas 25.6.2026

parte kreita helpe de AI

Antaŭparolo

Mi ofte spektas filmetojn en Jutubo. Foje inter tiuj estas filmetoj pri matematiko, kaj mi lastatempe spektis filmetojn pri radikoj. Mi trovis la temon tiel interesa, ke mi decidis verki ĉi tiun artikolon…

La operacio

Eble vi memoras el la baza lernejo la matematikan operacion kun la nomo potenco (ĉe la fino de la artikolo estas vortolisto pri la grasigitaj terminoj en Esperanto kaj la finna). Tio signifas operacion, en kiu oni multiplikas nombron kun si mem. Oni skribas tiun per supra indico, ekzemple $3 \cdot 3 = 3^2 = 9$ kaj $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$. En la unua kalkulo $3$ estas la bazo kaj $2$ la eksponento, en la dua ili estas inverse, $2$ estas la bazo kaj $3$ la eksponento.

La duan potencon oni nomas kvadrato kaj la trian kubo laŭ la respondaj areo kaj objekto.

Ni difinas radikon kiel inversan operacion al potenco:

se $b^n = a$, tiam $b= \sqrt[n]{a}$

$$
\begin{equation}
\end{equation}
$$

En la lasta parto de la ekvacio ($1$) la angula signo $\sqrt{\;}$ montras la operacion, la supra nombro maldekstre radikindicon (jen $n$) kaj la nombro sub la angula signo estas la radikato ($a$), de kiu oni kalkulas la radikon. Ĝenerale oni parolas pri n-a radiko, sed simile al potencoj oni nomas la radikon $\sqrt[2]{\;}$ kvadrata radiko kaj $\sqrt[3]{\;}$ kuba radiko. Kutime oni forlasas la indicon 2 ĉe kvadrata radiko.

Ekzemple (komparu kun la potencoj supre):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\sqrt{9} &= \sqrt[2]{9}= 3 \\
\sqrt[3]{8} &= 2 \\
\end{aligned}
\end{equation}
$$

Ni pritraktu, kio okazas ĉe diversaj valoroj de radikindico kaj radikato.

La radikindico estas pozitiva entjero

Ni komencu per la simpla kazo, en kiu la radikindico estas pozitiva entjero¹. Laŭ konvencio eblas reskribi la radikon per potenco kun racionala nombro:

$$
\begin{equation}
\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}
\end{equation}
$$

Se la radikato estas nul, tiam la rezulto ĉiam estas nul sendepende de la radikindico². Tio estas triviala.

Alia triviala kazo estas, kiam la radikindico estas unu. Tiam la radiko de nombro ĉiam estas la nombro mem³. Ĉi tial oni kutime supozas, ke la radikindico, $n$ en $(1)$, estas pozitiva entjero, pli aŭ egale al $2$, alivorte $n \in \mathbb{Z}, n \ge 2$.

Cetere se la radikindico estas para, en bazlerneja matematiko oni postulas, ke la radikato estu pozitiva reela nombro, $a \in \mathbb{R}^+$. Tiam ankaŭ la rezulto estas pozitiva reela nombro⁴. Rigardu la ekzemplon $(2)$ supre.

Se la radikindico estas nepara, la radikato povas esti aŭ pozitiva aŭ negativa reela nombro. Tiam la rezulto estas reela nombro⁵. Ekzemple $\sqrt[3]{-8}=-2$, ĉar $(-2)^3=-8$.

Tamen eblas havi negativajn radikatojn eĉ ĉe paraj radikindicoj⁶. Tiam la ra rezulto estas kompleksa nombro. Ekzemple el la difino de la imaginara unuo sekvas, ke $\sqrt{-1}=i$.

Ni povas krei la sekvan tabelon, kiu montras la suprajn limigojn ĉe la operacio radiko:

se	kaj	tiam $\sqrt[n]{a}$
$n \in \mathbb{Z}^+$	$a=0$	$= 0$
$n=1$	$a \in \mathbb{R}, a \ne 0$	$= a$
$n \in \mathbb{Z}, n \ge 2$ kaj $n$ estas para	$a \in \mathbb{R}^\mathbf{+} $	$\in \mathbb{R}^+$
$n \in \mathbb{Z}, n \gt 2$ kaj $n$ estas nepara	$a \in \mathbb{R}, a \ne 0 $	$\in \mathbb{R}$
$n \in \mathbb{Z}, n \ge 2$ kaj $n$ estas para	$a \in \mathbb{R}^\mathbf{-} $	$\in \mathbb{C}$

Tabelo 1

La radikindico estas pozitiva racionala nombro

Eblas apliki la ideon malantaŭ la racionala potenco al racionalaj radikindicoj. Tiam ni ekhavas la jenan egalecon:

$$
\begin{equation}
\sqrt[\frac{m}{n}\hspace{1.5mm}]{a} = a^{\frac{1}{\frac{m}{n}}} = a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}
\end{equation}
$$

Ekzemple

$$
\sqrt[\frac{3}{2}\hspace{1.5mm}]{9} = 9^{\frac{1}{\frac{3}{2}}} = 9^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{9^2} \approx 4,327
$$

Tia radiko havas kelkajn limigojn. Unue nek $m$ nek $n$ povas esti nul.

Cetere ni havas limigojn laŭ la pareco de la frakcia radikindico, se ni uzas nur reelajn nombrojn. Unue ni reduktu la frakcion por ĝuste determini parecon. Se nun la dividato (numeratoro), $m$ en la unua formo en $(4)$, estas para, la radikato devas esti ne-negativa reela nombro, por ke la rezulto estu reela nombro, ĉar oni finfine kalkulas la m-an, paran radikon⁷. Se $m$ estas nepara, la radikato povas esti aŭ pozitiva aŭ negativa reela nombro kaj la rezulto ĉiam estas reela nombro.

Se ni permesas uzon de kompleksaj nombroj, la pareco de la dividato ne gravas.

Ekzemple. Se ni ne reduktas la frakcion en $ \sqrt[\frac{4}{6}\hspace{1.5mm}]{-2} $, estas facile erare kalkuli, ke $\sqrt[\frac{4}{6}\hspace{1.5mm}]{-2} = \sqrt[4]{(-2)^6} = \sqrt[4]{64} \approx 2,828$, kiu estas reela nombro. Ni devas unue redukti la frakcion $ \sqrt[\frac{4}{6}\hspace{1.5mm}]{-2} = \sqrt[\frac{2}{3}\hspace{1.5mm}]{-2}$ kaj tiam kalkuli la radikon $\sqrt[\frac{2}{3}\hspace{1.5mm}]{-2} = \sqrt[2]{(-2)^3} = \sqrt{-8} \approx 2,828i$, kiu estas kompleksa nombro.

Do ni ekhavas la jenan tabelon:

se	kaj	kaj	tiam $\sqrt[\frac{m}{n}\hspace{1.5mm}]{a} $
$n \in \mathbb{Z}^+$	$m=0$	$a \in \mathbb{R}$	nedifinita
$n \in \mathbb{Z}^+$	$m \in \mathbb{Z}^+$	$a=0$	$=0$
$n \in \mathbb{Z}, n \ge 2$	$m \in \mathbb{Z}, m \ge 2$ kaj $m$ estas para	$a \in \mathbb{R}^\mathbf{+} $	$\in \mathbb{R}^+$
$n \in \mathbb{Z}, n \ge 2$	$m \in \mathbb{Z}, m \gt 2$ kaj $m$ estas nepara	$a \in \mathbb{R}, a \ne 0 $	$\in \mathbb{R}$
$n \in \mathbb{Z}, n \ge 2$	$m \in \mathbb{Z}, m \ge 2$ kaj $m$ estas para	$a \in \mathbb{R}^\mathbf{-} $	$\in \mathbb{C}$

Tabelo 2

La radikindico estas negativa entjero

Kvankam en la bazlerneja matematiko oni ofte postulas, ke la radikindico estu pozitiva, la operacio radiko estas ankaŭ difinita, kiam la radikindico estas negativa. Unue ni pritraktu la radikon, kiam la radikindico estas negativa entjero. Tiam oni difinas la radikon jene, $n \in \mathbb{Z}^+$,

$$
\begin{equation}
\sqrt[-n]{a} = a^{-\frac{1}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{1}{n}}} =\frac{1}{\sqrt[n]{a}}
\end{equation}
$$

laŭ la regulo pri negativa eksponento⁸.

Ekzemple

$$
\begin{aligned}
\sqrt[-2]{9} = \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3} \\[4mm]
\sqrt[-3]{8} = \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$

El la difino $(5)$ sekvas, ke $a$ ne povas esti $0$, ĉar tiam oni dividus per nul, kiu estas nedifinita⁹.

Memoru, ke eĉ tiam, kiam la radikindico estas pozitiva entjero, ni havas limigojn ĉe radiko rilate al tio, ĉu la radikindico estas para aŭ nepara. Nun kiam la radikindico estas negativa, ni havas la samajn limigojn¹⁰. Jen la nova aldona tabelo:

se	kaj	tiam $\sqrt[-n]{a}$
$n \in \mathbb{Z}^+$	$a=0$	nedifinita
$n=1$	$a \in \mathbb{R}, a \ne 0 $	$= \frac{1}{a}$
$n \in \mathbb{Z}, n \ge 2$ kaj $n$ estas para	$a \in \mathbb{R}^\mathbf{+} $	$\in \mathbb{R}^+$
$n \in \mathbb{Z}, n \ge 2$ kaj $n$ estas nepara	$a \in \mathbb{R}, a \ne 0 $	$\in \mathbb{R}$
$n \in \mathbb{Z}, n \ge 2$ kaj $n$ estas para	$a \in \mathbb{R}^\mathbf{-} $	$\in \mathbb{C}$

Tabelo 3

La radikindico estas negativa racionala nombro

Fine ni havas kazon, kiu kombinas la negativan kaj racionalan radikindicon, $m, n \in \mathbb{Z}^+$:

$$
\begin{equation}
\sqrt[-\frac{m}{n}\hspace{1.5mm}]{a} = a^{-\frac{1}{\frac{m}{n}}} = a^{-\frac{n}{m}} = \frac{1}{\sqrt[m]{a^n}}
\end{equation}
$$

La tabelo por tiu similas la tabelon 2, sed kun aldona limigo, ke la radikato ne povas esti nul.

se	kaj	kaj	tiam $\sqrt[-\frac{m}{n}\hspace{1.5mm}]{a} $
$n \in \mathbb{Z}^+$	$m=0$	$a \in \mathbb{R}$	nedifinita
$n \in \mathbb{Z}^+$	$m \in \mathbb{Z}^+$	$a=0$	nedifinita
$n \in \mathbb{Z}, n \ge 2$	$m \in \mathbb{Z}, m \ge 2$ kaj $m$ estas para	$a \in \mathbb{R}^\mathbf{+} $	$\in \mathbb{R}^+$
$n \in \mathbb{Z}, n \ge 2$	$m \in \mathbb{Z}, m \ge 2$ kaj $m$ estas nepara	$a \in \mathbb{R}, a \ne 0 $	$\in \mathbb{R}$
$n \in \mathbb{Z}, n \ge 2$	$m \in \mathbb{Z}, m \ge 2$ kaj $m$ estas para	$a \in \mathbb{R}^\mathbf{-} $	$\in \mathbb{C}$

Tabelo 4

Konklude

Mi konstruis la suprajn tabelojn por ilustri la valorojn kaj limigojn de diversaj potencoj. Kvankam ili unue povas ŝajni kompleksaj aŭ eĉ timigaj, ili finfine estas tre logikaj. La unua linio montras la ”normalan” valoron de kvar pritraktitaj radikoj¹¹:

$$\sqrt[n]{a}, \sqrt[\frac{m}{n}\hspace{1.5mm}]{a}, \sqrt[-n]{a}, \sqrt[-\frac{m}{n}\hspace{1.5mm}]{a}$$

La aliaj linioj en la tabeloj montras diversajn limigojn al tiuj: ĉu radikindico aŭ ties partoj aŭ radikato povas esti nul kaj kio okazas, se radikindico estas para aŭ nepara.

En matematiko oni verdire uzas la angulan signon nur en la plej simpla radiko, $\sqrt[n]{a}$, kaj alie oni uzas la notacion de la racionala potenco.

Ha, unu afero pli… Eble vi rimarkis, ke en ĉiuj okazoj $1$-$5$ la radikindico ne povas esti nul. Tiam la radiko estas nedinita. Tio estas intence. Eble vi volas kompari tion al la rezulto, kiun mi prezentis en Kiom estas nul en la potenco de nul, 0⁰?

Jen listo pri la terminoj kun siaj finnalingvaj ekvivalentoj.

bazo: kanta
dividanto: nimittäjä
dividato: osoittaja
eksponento: eksponentti
entjero: kokonaisluku
imaginara unuo: imaginaariyksikkö
kompleksa nombro: kompleksiluku
kvadrato: neliö
kvadrata radiko: neliöjuuri
kubo: kuutio
kuba radiko: kuutiojuuri

n-a radiko: n:s juuri
nedifinita: määrittelemätön
nepara: pariton
para: parillinen
potenco: potenssi
radiko: juuri
radikato: juurrettava
radikindico: juuriluku, aste
redukti: (tässä) sieventää
reela nombro: reaaliluku

Pri aroj de nombroj rigardu ekzemple mian artikolon Pri aroj de nombroj ĉi tie. ↩︎
La linio 1 en la tabelo 1. ↩︎
La linio 2 en la tabelo 1. ↩︎
La linio 3 en la tabelo 1. ↩︎
La linio 4 en la tabelo 1. ↩︎
La linio 5 en la tabelo 1. ↩︎
Komparu kun la linio 3 en la tabelo 1. ↩︎
La regulo estas, ke $a^{-b} = \frac{1}{a^b}$. ↩︎
Komparu la linion 1 en la tabelo 2 kun la linio 1 en la tabelo 1. ↩︎
La linioj 3-5 en la tabeloj 2, 3 kaj 4 identiĝas kun la liniojn 3–5 en la tabelo 1. ↩︎
Notu, ke ekzistas pliaj, pli ekzotaj radikoj. ↩︎

25.6.2026

artikoloj, Esperantlingvaj

matematiko, potenco, radiko

se	kaj	tiam \(\sqrt[n]{a}\)
\(n \in \mathbb{Z}^+\)	\(a=0\)	\(= 0\)
\(n=1\)	\(a \in \mathbb{R}, a \ne 0\)	\(= a\)
\(n \in \mathbb{Z}, n \ge 2\) kaj \(n\) estas para	\(a \in \mathbb{R}^\mathbf{+} \)	\(\in \mathbb{R}^+\)
\(n \in \mathbb{Z}, n \gt 2\) kaj \(n\) estas nepara	\(a \in \mathbb{R}, a \ne 0 \)	\(\in \mathbb{R}\)
\(n \in \mathbb{Z}, n \ge 2\) kaj \(n\) estas para	\(a \in \mathbb{R}^\mathbf{-} \)	\(\in \mathbb{C}\)

se	kaj	kaj	tiam \(\sqrt[\frac{m}{n}\hspace{1.5mm}]{a} \)
\(n \in \mathbb{Z}^+\)	\(m=0\)	\(a \in \mathbb{R}\)	nedifinita
\(n \in \mathbb{Z}^+\)	\(m \in \mathbb{Z}^+\)	\(a=0\)	\(=0\)
\(n \in \mathbb{Z}, n \ge 2\)	\(m \in \mathbb{Z}, m \ge 2\) kaj \(m\) estas para	\(a \in \mathbb{R}^\mathbf{+} \)	\(\in \mathbb{R}^+\)
\(n \in \mathbb{Z}, n \ge 2\)	\(m \in \mathbb{Z}, m \gt 2\) kaj \(m\) estas nepara	\(a \in \mathbb{R}, a \ne 0 \)	\(\in \mathbb{R}\)
\(n \in \mathbb{Z}, n \ge 2\)	\(m \in \mathbb{Z}, m \ge 2\) kaj \(m\) estas para	\(a \in \mathbb{R}^\mathbf{-} \)	\(\in \mathbb{C}\)

se	kaj	tiam \(\sqrt[-n]{a}\)
\(n \in \mathbb{Z}^+\)	\(a=0\)	nedifinita
\(n=1\)	\(a \in \mathbb{R}, a \ne 0 \)	\(= \frac{1}{a}\)
\(n \in \mathbb{Z}, n \ge 2\) kaj \(n\) estas para	\(a \in \mathbb{R}^\mathbf{+} \)	\(\in \mathbb{R}^+\)
\(n \in \mathbb{Z}, n \ge 2\) kaj \(n\) estas nepara	\(a \in \mathbb{R}, a \ne 0 \)	\(\in \mathbb{R}\)
\(n \in \mathbb{Z}, n \ge 2\) kaj \(n\) estas para	\(a \in \mathbb{R}^\mathbf{-} \)	\(\in \mathbb{C}\)

se	kaj	kaj	tiam \(\sqrt[-\frac{m}{n}\hspace{1.5mm}]{a} \)
\(n \in \mathbb{Z}^+\)	\(m=0\)	\(a \in \mathbb{R}\)	nedifinita
\(n \in \mathbb{Z}^+\)	\(m \in \mathbb{Z}^+\)	\(a=0\)	nedifinita
\(n \in \mathbb{Z}, n \ge 2\)	\(m \in \mathbb{Z}, m \ge 2\) kaj \(m\) estas para	\(a \in \mathbb{R}^\mathbf{+} \)	\(\in \mathbb{R}^+\)
\(n \in \mathbb{Z}, n \ge 2\)	\(m \in \mathbb{Z}, m \ge 2\) kaj \(m\) estas nepara	\(a \in \mathbb{R}, a \ne 0 \)	\(\in \mathbb{R}\)
\(n \in \mathbb{Z}, n \ge 2\)	\(m \in \mathbb{Z}, m \ge 2\) kaj \(m\) estas para	\(a \in \mathbb{R}^\mathbf{-} \)	\(\in \mathbb{C}\)