Antaŭparolo

Nuntempe ni difinas logaritmon kiel inversan funkcion al eksponenta funkcio. Ekzemple, ĉar \(8 = 2^3\), tiam \(log_{2} \, 8 = 3\). Ĝenerale validas

$$
\begin{equation}
y = n^x
\Leftrightarrow
log_n \, y = x
\end{equation}
$$

En la notacio \(log_n \, y\) oni nomas \(n\) bazo kaj \(y\) argumento. Notu, ke oni ne necese skribas krampojn ĉirkaŭ argumenton, sed oni skribu ilin, se eblas ekesti konfuzo.

La ideo

Dum la Epoko de malkovroj oni volis scii pli pri steloj kaj oni volis veli pli kaj pli foren. Astronomio kaj navigado postulis kompleksajn kalkuladojn. La skota matematikisto John Napier (1550-1617) – esperantigita al Nepero laŭ la latinigita formo de la nomo – inventis kalkultabelon, kiu parigis kaj aritmetikan vicon kaj geometrian vicon¹. Per tiu parigo oni povis transformi multiplikon al adicio, dividon al subtraho kaj \(n\)-an radikon al divido per \(n\).

$$
\begin{aligned}
\times \rightarrow + \\
\div \rightarrow \; – \\
\sqrt[n] {} \rightarrow \frac{1}{n}
\end{aligned}
$$

Antaŭ modernaj kalkuliloj tiuj transformoj estis ege gravaj, ĉar adicio, subtraho kaj divido per \(n\) estas pli rapide kalkuleblaj ol multipliko, divido aŭ kalkulo de la \(n\)-a radiko.

Ekzemplo

Aritmetika vico estas vico de nombroj tiel, ke oni atingas ĉiun sekvan nombron per adicio de konstanta valoro al la antaŭa nombro. Ekzemple 0, 1, 2, 3… estas aritmetika vico, ĉar oni ĉiam adicias unu al la antaŭa nombro. Geometria vico estas vico de nombroj tiel, ke oni atingas ĉiun sekvan nombron per multipliko de konstanta valoro al la antaŭa nombro. Ekzemple 1, 2, 4, 8… estas geometria vico, ĉar oni ĉiam multiplikas la antaŭan nombron per du.

Do la plej simpla kalkultabelo laŭ la ideo de Nepero estas jena:

geometria vico	aritmetika vico
1	0
2	1
4	2
8	3
16	4
32	5
64	6
128	7
256	8

Notu, ke la konstanta valoro estas 2 en la geometria vico kaj 1 en la aritmetika vico².

Supozu, ke vi volas kalkuli 8 \(\cdot\) 32. Trovu tiujn nombrojn en la kolumno por la geometria vico kaj legu la respondajn valorojn en la kolumno por la aritmetika vico. Vi trovos 3 respektive 5. Adiciu tiujn kaj vi obtenos 8. Nun trovu tiun nombron en la kolumno por la aritmetika vico kaj legu la respondan valoron en la kolumno por la geometria vico. Vi trovos 256, kiu estas la rezulto de la multipliko. Alivorte vi transformis la multiplikon al adicio.

Nepero unue nomis la kolumnon por la aritmetika vico kiel artefarita nombro, sed poste li inventis nomon logaritmo, kiu devenas el la grekaj vortoj λόγος ἀριθμός (logos arithmos), kiuj signifas proporcian aŭ rilatan nombron.

La verko de Nepero

La supra tabelo havas problemon, ke intervalo inter du eniroj estas tro granda. Ekzemple mankas 3 inter 2 kaj 4 en la flanko de la aritmetika vico. Cetere la intervaloj forte kreskas en la geometria vico. Ekzemple inter 128 kaj 256 mankas jam 127 valoroj. Por plenigadi tiujn intervalojn oni bezonas pli malgrandan faktoron ol 2, prefere proksime de 1. Nepero konkludis, ke tiu faktoro, bazo, estu 0,9999999. Ĉar tiu bazo estas malpli ol 1 kaj konsekvence la valoroj malkreskas, li komencis sian tabelon je 10 milionoj (de 10 milionoj ĝis 1).

Kompreneble Nepero ne verkis sian tabelon de nulo. Tio ja estus tro peniga, sed li reuzis la haveblajn tabelojn pri la valoroj de la funkcio sinuso. Malgraŭ tiu ŝparvojo daŭris 20 jaroj, antaŭ ol li kompletigis la verkon kun 90 paĝoj de logaritmaj valoroj. En la jaro 1614 Nepero publikigis tiun verkon sub la nomo Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio [en], Priskribo de la mirinda kanono de logaritmoj.

La verko estis granda sukceso. Multaj tradukoj kaj verkoj kun aliaj logaritmoj aperis. Jam en 1618 aperis anglalingva traduko kun alkroĉita tabelo, kiun verŝajne konstruis la angla matematikisto William Oughtred [en], studento de Nepero. Tiu tabelo havas logaritmojn, kiujn ni nuntempe identigas kiel naturan logaritmon. Post kelkaj jaroj alia angla matematikisto John Speidell [en] sendepende publikigis sian verkon, kiu havis naturan logaritmon de 1 ĝis 1000.

Notu, ke Oughtred kaj Speidell kalkulis la logaritmojn laŭ malsimilaj manieroj. Cetere memoru, ke ili ne sciis pri la rilato inter eksponenta kaj logaritma funkcioj, rigardu \((1)\). Do kiel ili atingis la saman rezulton? Nepero elektis 0,9999999 kiel sian bazon, ete malpli ol 1. Se vi elektas ete pli ol 1, ekzempe 1,000001, eblas uzi ĝin por konstrui la sekvan tabelon³:

geometria vico	aritmetika vico
1,000000	0
1,000001	1
1,000002	2
1,000003	3
…	…

Do ĉe 2,000000 de la geometria vico la aritmetika vico havas valoron de 693418, kiu egalas la valorojn, kiujn kaj Oughtred kaj Speidell kalkulis⁴.

Ĝis nun nia konstanta valoro en la kolumno por la aritmetika vico estis 1. Se ni nun elektas tre malgrandan bazon, ekzemple 0,000001, kaj parigas ĝin kun bazo por la geometria vico, kies bazo estas pli ol 1 sed nur malgrande, ekzemple 1,000001, tiam ni obtenas naturan logaritmon. Sed tiamaj matematikistoj ne malkovris tiun rilaton kaj se ili malkovrus, tio ne signifus multe al li, ĉar ili rigardis logaritmojn nur kiel kalkultabelojn, kiujn oni bezonis por astronomiaj kalkuloj kaj navigado.

Necesis pliaj inventaĵoj…

---

1. [fi] aritmeettinen sarja vastaavasti geometrinen sarja ↩︎
2. La tabelo ja montras la duan potencon: \({\small 2^0=1, 2^1=2, 2^2=4…}\) ↩︎
3. Notu, ke mi distranĉas la valorojn je ses dekumoj. ↩︎
4. Ambaŭ atingis rezultojn, kiuj havas etajn rondigajn erarojn. ↩︎